【非标设计】理论力学基础-3.1空间力的分解与投影
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空间力系
空间力系是各力的作用线不在同一平面内的力系。这是力系中最一般的情形。许多工程结构和机械构件都受空间力系的作用,例如车床主轴、桅式起重机、闸门等。对它们进行静力分析时都要应用空间力系的简化和平衡理论。
本章研究空间力系的简化和平衡问题,并介绍物体重心的概念和确定重心位置的方法。与研究平面力系相似,空间力系的简化与平衡问题也采用力系向一点简化的方法进行研究。
第一节 空间力的分解与投影
一、空间力的分解
如图3-1所示设力F 沿直角坐标轴的分力分别为Fx、Fy、Fz则
(3-1)
图3-1
力F的三个分力可以用它在三个相应轴上的投影来表示:
(3-2)
则 (3-3)
其中i、j、k分别是x、y、z轴的正向单位矢量。
二、空间力的投影
1.直接投影法
如图3-2所示,若已知力F与空间直角坐标轴x、y、z正向之间夹角分别为α、β、γ,以Fx、Fy、Fz表示力F在x、y、z三轴上的投影则 (3-4)
力在坐标轴上的投影为代数量。在式(3-4)中当α、β、γ为锐角时投影为正反之为负。
图3-2
2.二次投影法
若力F在空间的方位用图3-3所示的形式来表示, 其中γ为力F与z轴的夹角,φ为力F所在铅垂平面与x轴的夹角,则可用二次投影法计算力F在三个坐标轴上的投影。
先将力F向z轴和xy平面投影得
注意:力在平面上的投影Fxy为矢量。
再将Fxyx、y轴投影得
因此(3-5)
图3-3
反之若已知力在直角坐标轴上的投影,则可以确定该力的大小和方向。,3-6)
其中α、β、γ为力F分别与x、y、z轴正向的夹角。
例3-1 在边长为a的正六面体的对角线上作用一力F如图3-4a所示。试求该力分别在x、y、z轴上的投影。
图3-4
【解】
方法一:直接投影法
如图3-4b所示由空间几何可得
则力在三轴上的投影为
方法二:二次投影法
如图3-4c0示由空间几何可得
根据二次投影法得
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