第二章 控制系统的数学模型及传递函数

2-1 拉普拉斯变换的数学方法

拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，0时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程

 

一、拉氏变换与拉氏及变换的定义

1、拉氏变换：设有时间函数其中则f(t)的拉氏变换记作

称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数

f(t)—原函数。拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)

1)在任何一有限区间内f(t)分断连续只有有限个间断点

2)当时Ma为实常数

2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函if(t)的过程—拉氏反变换符号

关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法

 

二、典型时间函数的拉氏变换

在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号"用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换

1．单位阶跃函数

    

2．单位脉冲函数

3．单位斜坡函数

   

4．指数函数

5．正弦函数sinwt

由欧拉公式：

所以

6．余弦函数coswt

 

其它的可见表2-1：拉氏变换对照表

F(s)	f(t)
1
1(t)
t

 

三、拉氏变换的性质

1、线性性质

若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t)f2(t)的拉氏变换为F1(s)F2(s)

则有：此式可由定义证明

 

2、位移定理

(1)实数域的位移定理

若f(t)的拉氏变换为F(s)则对任一正实数a

有 其中当t<0时f(t)=0f(t-a)if(t)延迟时间a

证明：

令t-a=τ则有上式=

例： 求其拉氏变换

 

(2)复数域的位移定理

若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a有

证：

例：求的拉氏变换

 

3、微分定理

设f(t)的拉氏变换为F(s)

则

其中f(0+)由正向使的f(t)值

证：

同理可推广到n阶

 

当初始条件为0时即

则有

 

4、积分定理

设f(t)的拉氏变换为F(s)则

其中时的值。

证明：

同理可得n阶积分的拉氏变换

当初始条件为0时f(t)的各重积分在时均为0则有

    ]

 

5、初值定理

设f(t)的拉氏变换为F(s)则函数f(t)的初值定理表示为

证明：由微分定理知

对等式两边取极限：

则有

例：已知 求f(0+)

由初值定理知：

 

6、终值定理

若f(t)的拉氏变换为F(s)则终值定理表示为：

证明：由微分定理知

令对上式两边取极限

这个定理在稳态误差中常用

例：已知：求f()

 

7、卷积定理

设f(t)的拉氏变换为F(s)g(t)的拉氏变换为G(s)

则有

式中称为f(t)与g(t)的卷积。此定理不要求证明

 

课堂练习

1)    求L[t2]

 

2)求图示正弦波半波函数的拉氏变换

 

 

3)已知f(t)的拉氏变换为F(s)求

 

4)已知f(t)的拉氏变换为F(s)求L[f(at)]

 

四、拉氏反变换的数学方法

在已知象函数F(s),求f(t)时，对于简单的象函数，可直接利用表2-1来查，但对于复杂的，可利用部分分式展开法，即通过代数运算将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再求出各个分式的原函数，从而求出总的原函数。

部分分式展开法

对于象函数F(s),常可写

式中p1p2…pn称为F(s)的极点，p1,p2…,pn称为F(s)的零点。一般A(s)的阶次大于B(s)，若B(s)>A(s),可化为多项式+真分式的形式

下面分两种情况，研究分式展开法

 

1、F(s)无重极点的情况

此时，F(s)总能展开成下面的部分分式之和

 

其中分子为待定系数

例：求F(s)的拉氏变换

解一：

解二：

所以

例2  

若p1p2 为共轭复数，相应的系数k1 ，k2也是共轭复数，故只需求出一个即可

 

2、F(s)有重极点的情况

设F(s)有r 个重极点p1,其余极点均不相同则

  

 

例：求的拉氏反变换

所以：