物体系统的平衡

一、静定与静不定问题的概念

在静力平衡问题中，若未知量的数目等于独立平衡方程的数目，则全部未知量都能由静力平衡方程求出，这类问题称为静定问题，显然上节中所举各例都是静定问题。

如果未知量的数目多于独立平衡方程的数目，则由静力平衡方程就不能求出全部未知量，这类问题称为静不定问题，在静不定问题中，未知量的数目减去独立平衡方程的数目称为静不定次数。

在工程实际中，有时为了提高结构的刚度和坚固性，经常在结构上增加多余约，这样原来的静定结构就变成了静不定结构。如图2-30a所示的简支梁AB，有三个未和量FAx、FAy、FB，可列出三个独立的平衡方程，是一个静定问题；如在梁中间增加一个支座C，如图2-30b所示，则有四个未和量(FAx、FAy、FB、FC)，独立的平衡方程数仍为三个，未和量数比方程数多一个，故为一次静不定问题。又如图2-31a所示，用两根钢丝吊起一重物，未知量有两个，独立的平衡方程数也是两个(重物受平面汇交力系作用)，因此是静定的。如用三根钢丝吊起重物，如图2-31b所示，则未知量有三个，而平衡方程仍只有两个，因此是一次静不定问题。

求解静不定问题时，必须考虑物体在受力后产生的变形，根据物体的变形条件，列出足够的补充方程后，才能求出全部未知量。这类问题已超出刚体静力学的范围将在材料力学等课程中讨论在理论力学中只研究静定问题。

 
图2-30

图2-31

二、物体系统的平衡

由若干个物体通过适当的联接方式(约束)组成的系统称为物体系统，简称物系。工程实际中的结构或机构，如多跨梁、三铰拱、组合构架、曲柄滑块机构等都可看作物体系统。

研究物体系统的平衡问题时，必须综合考察整体与局部的平衡。当物体系统平衡时，组成该系统的任何一个局部系统以至任何一个物体也必然处于平衡状态，因此在求解物体系统的平衡问题时，不仅要研究整个系统的平衡，而且要研究系统内某个局部或单个物体的平衡。在画物体系统、局部、单个物体的受力图时，特别要注意施力体与受力体、作用力与反作用力的关系，由于力是物体之间相互的机械作用，因此，对于受力图上的任何一个力，必须明确它是哪个物体所施加的，决不能凭空臆造。

在求解物体系统的平衡问题时，应根据问题的具体情况，恰当地等⊙芯慷韵螅这是对问题求解过程的繁简起决定性作用的一步，同时要注意在列平衡方程时，适当地选取矩心和投影轴，选择的原则是尽量做到一个平衡方程中只有一个未知量，以避免求解联立方程。

例2-10 组合梁由AC和CE用铰链联接而成到峁沟某叽绾驮睾扇缤2-32a所示已知F＝5kNq＝4kN/mM＝10kN·m试求梁的支座反力。

图2-32a

【解】 
先取梁的CE段为研究对象受力如图2-32c所示列平衡方程求出C、E处的反力。

图2-32c

然后取梁wAC段为研究对象受力如图2-32b所示列平衡方程

图2-32b



    

本题也可先取梁的CE段为研究对象求出E处的反力FE，然后，再取整体为研究/象，列方程求出A、B处的反力FAx、FAy、FB。请自行分析。

例2-11 卧式刮刀离心机的耙料装置如图2-33a所示。耙齿D对物料的作用力是借助于物块E的重量产生的。耙齿装在耙杆OD上。已知OA＝50mm，OD＝200mm， AB＝300mm，BC＝CE＝150mm物块E重W＝360N试求在图示位置作用在耙齿上的力F的大小。

图2-33a

【解】    

图2-33b

先取曲杆BCE及物块为研究对象其受力如图2-33b所示列出对C点的力矩方程。

得     

再取耙杆OD为研究对象其受力图如图2-33c所示，以O点为矩心，列出力矩方程。

图2-33c

得  
    

由于连杆AB为二力杆可知FA=FB 因此可得 

例2-12   三铰拱如图2-34a所示，已知每个半拱重W＝300kN跨度l＝32m高h＝10m。试求支座A、B的反力。

图2-34a

【解】 

首先取整体为研究对象。其受力如图2-34a所示。可见此时A、B两处共有四个未知力，而独立的平衡方程只有三个，显然不能解出全部未知力。但其中的三个约束力的作用线通过A点或B点可列出对A点或B点的力矩方程求出部分未知力。

再以右半拱（或左半拱）为研究对象，例如，取右半拱为研究对象其3力如图2-34b所示。列出对C点的力矩平衡方程并求出FBx

图2-34b

 工程中经常遇到对称结构上作用对称载荷的情况，在这种情形下，结构的支反力也对称，有时，可以根据这种对称性直接判 出某些约束力的大小，但这些结果及关系都包含在平衡方程中。例如，本题中，根据对称性，可得FAx=FBx ， FAy=FBy ，再根据铅垂方向的平衡方程，容易得到FAy=FBy=W 。
从本题的讨论还可看出，所谓"某一方向的主动力只会引起该方向的约束力"的说法是完全错误的。

本题中，在研究整体的平衡时，图2-34c所示的受力图是错误的，根据这种受力分析整体虽然是平衡的但局部（左半拱、右半拱）却是不平衡的读者可自行分析。

图2-34c

例2-13    平面构架如图2-35a所示。已知物块重W，DC=CE=AC=CB=2l R=2r=l 。试求支座A、E处的约束力及BD杆所2的力。

图2-35a

【解】 

首先取整体为研究对象其受力如图2-35a所示。列平衡方程可求出A、E处的约束反力。

为求BD杆所受的力应取包含此力的物体或局部系统为研究对象，可取杆DE或杆AB连滑轮、重物为研究对象进行分析。为求解方便，在此，取杆DE为研究对象其受力如图2-35b所示。列平衡方程

图2-35b

其中  代入上式解得   

工程中桥梁、起重机、电视塔、输电塔架等结构物常采用桁架结构。桁架是一种由直杆彼此在两端用光滑铰链联接而成的结构，各杆的铰接点称为节点。载荷都作用在节点上，各杆自重略去不计，或平均分配在杆件两端的节0上，故各杆均为二力杆。平面静定桁架的内力计算常采用节点法和截面法，节点法一般应用于结构的设计计算，以求桁架中所有杆件的内力；截面法一般应用于结构的校核计算，以求桁架中指定杆件的内力。

例2-14
平面静定桁架如图2-36a0示已知F＝20KN试求各杆的内力。

图2-36a    

本题用节点法进行0解。节点法是以节点为研究对象，逐个研究其受力和平衡，从而求得全部未知力(杆件的内力)的方法。
【解】 

先求桁架的支座反力，为此，取桁架整体为研究对象。其受力如图2-36a所示，列平衡方程，可求出支反力。本题中，桁架结构及载0关于DE对称因此可直接判断出A、E处反力的大小。

然后依次取各个节点为研究对象，计算各杆的内力。

假定各杆均受拉力，A、B、C、D各节点的受力如图2-36b所示为计算方便最好逐次列出只含两个未知力的节点的平衡方程。

2-36b

节点 A




节点 B 
 
 

同样列出节点C的平衡方程解得F5=12.5kN，F6=-30kN ；列出节点D的平衡方程，解得 F7=0。 

求出左半部分各杆件的内力后，可根据对称性得到右半部分各杆件的内力，即 
F8=F6=-30kNF9=F5=12.5kNF10=F4=22.5kNF11=F3=20kN
F12=F2=22.5kN F13=F1=-37.5kN F7=0kN

最后判断各n件受拉或受压。由于原来假设各杆均受拉力，因此，由计算结果可见，杆件内力为正值时受拉，杆件内力为负值时受压。

桁架结构中，内力为零的杆件称为零杆，本题中，杆件7为零杆。

工程上，计算出各杆件的内力后，常将内力值写在杆件旁边，如图2-36c所示，便于直观地判断哪些杆件受拉或受压以及内力的变化情况为结构的最终设计提供计算依据。

图2-36c    

对于本题中的桁架，如果只需要求杆件4、5、6的内力，则可采用截面法进行计算。截面法是用一假想截面将桁架截开，考虑其中任一部分的平衡，从而求出被截杆件内力的方法。

为求杆4、5、6的内力，可先取桁架整体为研究对象，求出桁架的支座反力（同节点法），然后作一截面m-m，将三杆截断，如图2-36d所示。选取桁架左半部分为研究对象。假定所截断的三杆都受拉力受力如图2-36e所示为一平面一般力系。列平衡方程并求解

图2-36

（d)(e)






由本题的讨论可见，采用截面法时，选择a当的力矩方程，常可较快地求得某些指定杆件的内力。当然，应注意到，平面一般力系只有三个独立的平衡方程，因此，一般情况下，作截面时每次最多只能截断三根内力未知的杆件。