第五章 控制系统的稳定性分析

稳定性是机械工程系统的重要性能指标之一。控制系统能否工作的首要条件是确保系统稳定

 

5-1 稳定性

1、稳定性的概念

稳定性：设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，若系统对干扰的瞬态响应随着时间的推移而不断扩大或发生持续振荡，则系统为不稳定

此可知：线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关

 

2、判别系统稳定性的基本原则

对于一般的反馈系统系统的传递函数为

基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述

设输入信号为单位脉冲信号则有

<1>

通过前面的学习我们知道当输入为单位脉冲信号时若

则系统稳定若

则系统不稳定

从<1>式可看出，要想系统稳定，只有当系统的特征根s，全部具有负实部0

综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分

由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表0为：系统的极点均在s。平面的左半平面

 

显然，稳定性与零点无关。当有一个根落在右半部，系统不稳定。当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡

一般情况下，确定系统稳定性的方法有

1）直接计算或间接得知系统特征方程式的根

2）确定特征方程的根具有负实部的系统参数的区域

应用第一种类型的两种方法是：1）直接对系统特征方程求解；2）根轨迹法

应用第二种类型的两种方法是：1）劳斯-胡尔维茨判据；2）奈氏判据

 

5-2 劳斯-胡尔维茨稳定性判据

该判据不直接对特征方程式求解，而由特征方程中的已知系数，间接地判别出方程的根是否具有负实部，再判稳定性—又称代数稳定性判据

 

一、胡尔维茨稳定判据

将系统的特征方程式写成

系统稳定的充要条件是

1）系统的特征方程式的各项系数全部为正值，即ai=0

2）由系统特征方程各项系数组成的主行列式及其各顺序主子式全部大于零

满足这两个条件的系统是稳定的，否则系统是不稳定的

胡尔维茨行列式可列写为

    

建立规律：主对角线上元素从a0开始依次递增为an-1再写出各列元素，按自上而下角标递减，小于0时用0代替

在实际中，为了计算简化可计算半数的行列式

    

 

例：系统的特征方程为

试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性

解：由特征方程知：1）ai=0

2）

  

所以不满足胡尔维茨行列式系统不稳定

 

二、劳斯判据

当系统特征方程阶次越高，利用胡氏判据时，行列式计算工作量越大所以高阶时可用劳斯判据判别系统的稳定性

劳斯稳定判据就是这种间接的方法（不用直接求根因为求根很复杂）它是由劳斯 于1877年首先提出的

有关劳斯判据自身的数学论证，从略  

本节主要介绍该判据有关的结论及其在判别控制系统稳定性方面的应用

 

劳斯判据步骤如下

1）列出系统特征方程

检查各项系数是否大于0若是进行第二步

可见，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，是满足系统稳定的必要条件

2）按系统的特征方程式列写劳斯表

注意：在上述计算过程中为了简化数学运算，可以用一个正整数去除或乘某一整行，这时并不改变系统稳定性的结论。

 

3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a0、a1、b1、c1、……的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等

于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数

通常a0 > 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零

如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定

例 已知一调速系统的特征方程式为

试用劳斯判据判别系统的稳定性。

解：列劳斯表

由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的

例 已知某调速系统的特征方程式为

求该系统稳定的K值范围

解：列劳斯表

由劳斯判据可知若系统稳定则劳斯表中第一列的系数必须全为正值

可得

 劳斯判据特殊情况

在应用劳斯判据时，有可能会碰到以下两种特殊情况

劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排9。解决的办法是以一个很小的正数

来代替为零的这项据此算出其余的各项完成劳斯表的排列

若劳斯表第一列中系数的符号有变化其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目相应的系统为不稳定。如果第一列

上面的系数与下面的系数符号相同则表示该方程中有一对共轭虚根存在相应的系统也属不稳定

例 已知系统的特征方程式为

试判别相应系统的稳定性

解：列劳斯表

由于表中第一列

上面的符号与其下面系数的符号相同表示该方程中有一对共轭虚根存在i相应的系统为不稳定

劳斯表中出现全零行

则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表i排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到而且其根的数目总是偶数的。例如一个控制系统的特征方程为

列劳斯表

由于

这一行p为0用上一行组成辅助多项式      

由上表可知第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根p令F(s)=0

求得两对大p相等、符号相反的根

显然这个系统处于临界稳定状态