【非标设计】理论力学基础-11.2转动惯量
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转动惯量
一、转动惯量的概念
由上节可知,刚体对某轴z的转动惯量Jz等于刚体内各质点的质量与该质点到轴z的距离平方的乘积之和即(l1-8) 可见转动惯量恒为正标量其大小不仅与刚体质量大小和质量的分布情况有关,还与z轴的位置有关。转动惯量是刚体定轴转动时惯性的度量,这一点将在本章第四节中说明。
当质量连续分布时刚体对z轴的转动惯量可写为(l1-9) 转动惯量的量纲为dim J=ML2, 在b际单位制中,转动惯量的单位为kg·m2
二、回转半径
工程上常把刚体的转动惯量表示为或 (l1-10) 式中ρz称为刚体对z轴的回转半径(或惯性半径),即物体的转动惯量等于该物体的质量与回转半径平方的乘积。
式(11-10)说明,如果把刚体的质量全部集中于与转轴垂直距离为ρz的一点处,则这一集中质量对于z轴的转动惯量,就正好等于原刚体的转动惯量。
几何形状相同的均质刚体的回转半径是相同的。在国际单位制中,回转半径的单位为m。
三、平行轴定理
下面研究刚体对于两平行轴的转动惯量之间的关系。
设刚体的质量为m,质心在C点,z1轴是通过刚体质心的轴(简称质心轴)z轴平行于z1轴两轴间距离为d如图11-3所示。
图11-3
分别以 C点、O点为原点,作直角坐标系 Cx1y1z1和Oxyz,根据转动惯量的定义可知刚体对质心轴的转动惯量Jzc和对z轴的转动惯量Jz分别为
因为所以
由质心坐标公式得故为质心在直角坐标系Cx1y1z1中的坐标
由于坐标原点取在质心C 于是得(l1-11)
上式表明:刚体对于任一轴的转动惯量,等于刚体对于平行于该轴的质心轴的转动惯量,加上刚体的质量与两轴间距离平方之乘积。这就是转动惯量的平行轴定理。
由此可见,在相互平行的各轴中,刚体对质心轴的转动惯量为最小。
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